單因素方差分析-ESG跨境

單因素方差分析

單因素方差分析

單因素方差分析（One Way ANOVA）

什么是單因素方差分析

單因素方差分析是指對單因素試驗結(jié)果進行分析，檢驗因素對試驗結(jié)果有無顯著性影響的方法。

單因素方差分析是兩個樣本平均數(shù)比較的引伸，它是用來檢驗多個平均數(shù)之間的差異，從而確定因素對試驗結(jié)果有無顯著性影響的一種統(tǒng)計方法。

單因素方差分析相關(guān)概念

單因素方差分析示例

例如，將抗生素注入人體會產(chǎn)生抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的現(xiàn)象，以致減少了藥效。下表列出了5種常用的抗生素注入到牛的體內(nèi)時，抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的百分比?，F(xiàn)需要在顯著性水平α = 0.05下檢驗這些百分比的均值有無顯著的差異。設(shè)各總體服從正態(tài)分布，且方差相同。

在這里，試驗的指標是抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的百分比，抗生素為因素，不同的5種抗生素就是這個因素的五個不同的水平。假定除抗生素這一因素外，其余的一切條件都相同。這就是單因素試驗。試驗的目的是要考察這些抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的百分比的均值有無顯著的差異。即考察抗生素這一因素對這些百分比有無顯著影響。這就是一個典型的單因素試驗的方差分析問題。

與通常的統(tǒng)計推斷問題一樣，方差分析的任務(wù)也是先根據(jù)實際情況提出原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1，然后尋找適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量進行假設(shè)檢驗。本節(jié)將借用上面的實例來討論單因素試驗的方差分析問題。

在上例中，因素A（即抗生素）有s（=5）個水平，在每一個水平下進行了nj = 4次獨立試驗，得到如上表所示的結(jié)果。這些結(jié)果是一個隨機變量。表中的數(shù)據(jù)可以看成來自s個不同總體（每個水平對應(yīng)一個總體）的樣本值，將各個總體的均值依次記為,則按題意需檢驗假設(shè)

不全相等

為了便于討論，現(xiàn)在引入總平均μ

其中：

再引入水平Aj的效應(yīng)δj

顯然有，δj表示水平Aj下的總體平均值與總平均的差異。

利用這些記號，本例的假設(shè)就等價于假設(shè)

不全為零

因此，單因素方差分析的任務(wù)就是檢驗s個總體的均值μj是否相等，也就等價于檢驗各水平Aj的效應(yīng)δj是否都等于零。

2. 檢驗所需的統(tǒng)計量

假設(shè)各總體服從正態(tài)分布，且方差相同，即假定各個水平下的樣本來自正態(tài)總體N(μj,σ)，μj與σ未知，且設(shè)不同水平Aj下的樣本之間相互獨立，則單因素方差分析所需的檢驗統(tǒng)計量可以從總平方和的分解導出來。下面先引入：

水平Aj下的樣本平均值:

數(shù)據(jù)的總平均:

總平方和:

總平方和ST反映了全部試驗數(shù)據(jù)之間的差異，因此ST又稱為總變差。將其分解為

ST = SE + SA

其中:

上述SE的各項表示了在水平Aj下，樣本觀察值與樣本均值的差異，這是由隨機誤差所引起的，因此SE叫做誤差平方和。SA的各項表示了在水平Aj下的樣本平均值與數(shù)據(jù)總平均的差異，這是由水平Aj以及隨機誤差所引起的，因此SA叫做因素A的效應(yīng)平方和。

可以證明SA與SE相互獨立，且當為真時，SA與SE分別服從自由度為s   1,n ? s的χ分布，即

SA / σ?χ(s ? 1)

SE / σ?χ(n ? s)

于是，當為真時

這就是單因素方差分析所需的服從F分布的檢驗統(tǒng)計量。

3. 假設(shè)檢驗的拒絕域

通過上面的分析可得，在顯著性水平α下，本檢驗問題的拒絕域為

為了方便分析比較，通常將上述分析結(jié)果編排成如下表所示的方差分析表。表中的分別稱為SA,SE的均方。

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